Bénéfice maximal d'un artisan glacier

Un artisan glacier produit et vend de la glace. La production journalière varie de 2 à 20 litres.

Le chiffre d'affaires, en euros, obtenu pour la vente de `x` litres de glace est donné par la fonction `R` définie sur l'intervalle \([2~; 20]\) par `R(x)=8x` .

Le coût total de production de `x` litres de glace est donné, en euros, par la fonction `C` définie sur l'intervalle \([2~; 20]\) par  \(C(x) = 0{,}5x^2 −2x +32\) .

On admet dans l'étude qui suit que chaque jour toute la glace produite est vendue.

On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous deux courbes `\mathcal{C}_1` et `\mathcal{C}_2` . L'une est la représentation graphique de `R` et l'autre celle de `C` .

1. Déterminer, en justifiant, la courbe représentant la fonction `R` et la courbe représentant la fonction `C` .

2. Déterminer graphiquement dans quel intervalle doit se situer le nombre de litres de glace vendus pour que l'artisan glacier réalise un bénéfice.

3. Le résultat de l'artisan, en euros, c'est-à-dire le bénéfice ou le déficit selon que le résultat est positif ou négatif, est donné par la fonction `B` définie sur l'intervalle \([2~;20]\)  par `B(x)=R(x)-C(x)` .

    a. Exprimer, pour tout réel `x` de l'intervalle \([2~;20]\) , `B(x)` en fonction de `x` .

    b. Déterminer la dérivée \(B'\) de la fonction `B` .

    c. Déterminer le signe de \(B'(x)\) sur l'intervalle \([2~;20]\) .

    d. En déduire le tableau de variations de la fonction `B` et le nombre de litres de glace que l'artisan doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.